气体动力论

2020-07-19
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我们也许都有一个经验,妈妈把自来水装进热水壶里面,放在瓦斯炉上加热烧开水,就在水沸腾的时候,汽笛的孔会冒出大量白烟,并且发出鸣笛声提醒。这时候我们发现一个问题,水气以及小水滴从汽笛的孔一直喷出,这是为什幺呢?

若按照「压力」的观点,水壶里面似乎有个比较大的压力一直往外面推,将里面的水分子推至空气之中,这个推论看起来还不错,但又衍生一个问题,压力哪来的?容器里必定有物质在施力,可是没有其他东西了,难道说是那些水分子?看来也只能这样假设了。

「气体动力论」就是在描述气体分子的动力行为,假设微观分子的运动模式可以表现在宏观的物理状态。为了简化模型,我们先对这些分子做一些假设:

有了这些假设,我们对「弹性碰撞」着手进行,考虑一个方盒子,空间三个方向的边长都是 $$L$$,因为数量极为庞大,所以三个方向发生的事情会一样。我们先考虑 $$x$$ 方向,假设 $$x$$ 方向的速度平均为 $$v_x$$,撞到容器会弹性碰撞,所以某一个分子动量的变化 $$\Delta P_x$$:

$$\Delta P_x=mv_x-(-mv_x)=2mv_x$$

而且因为边长是 $$L$$,所以下次撞击同一面容器的时候平均来说需要时间 $$\Delta t$$:

$$\Delta t=\displaystyle\frac{2L}{v_x}$$

太棒了,我们有「动量变化」跟「经过的时间」,紧接着就可以算出 $$x$$ 方向平均受力 $$F_x$$:

$$F_x=\displaystyle\frac{\Delta P_x}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{L}$$

同理:

$$F_y=\displaystyle\frac{\Delta P_y}{\Delta t}=\frac{mv_y^2}{L}$$

$$F_z=\displaystyle\frac{\Delta P_z}{\Delta t}=\frac{mv_z^2}{L}$$

接着我们知道分子真正的速率 $$v$$ 会满足:

$$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$$

而且再强调一次,因为「数量庞大」,所以基本上三个方向的分量会平均分配,因此:

$$F_x=F_y=F_z=\displaystyle\frac{mv^2}{3L}$$

所以每个面受到的压力 $$P$$:

$$P=\displaystyle\frac{F}{A}=\frac{mv^2}{3L^3}=\frac{mv^2}{3V}$$

其中 $$V$$ 就是方盒子体积。

经过这些辛苦的推导,我们成功把分子的速率跟盒子内的压力连结在一起了,真的是可喜可贺,只要测量出宏观的物理量(压力),竟然可以知道分子速率!但故事还没说完,根据前人的智慧,有一个相当普遍而有用的方程式─理想气体方程式:

$$PV=NkT$$ 

这是综合了波以耳、查理、给吕萨克这些物理学家做实验所归纳出来的结果,最后再经过推理彙整而成的。因此我们把之前推导压力的式子整理一下,现在气体有 $$N$$个气体分子:

$$\displaystyle P=\frac{Nmv^2}{3V}=\frac{NkT}{V}$$

进一步改写成:

$$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT$$

等式左边就是动能,因此我们推得每一个分子平均动能 $$K$$:

$$K=\displaystyle\frac{3}{2}kT$$

这个结果把分子平均动能跟容器温度连结一起了,可以清楚知道动能与温度的关係,即温度是来自于分子的动能。再整理一下方程式,可以得到速率 $$v$$:

$$v=\displaystyle\sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

到这边我们先回顾一下刚刚推导过程,刚刚我们都只考虑一个方向,反正因为平均,三个方向都会一样,且 $$x$$ 方向的动能是总动能的 $$3$$ 分之 $$1$$,最后推导出这个 $$v$$。这个 $$v$$ 是由三个方向的平方合,然后平均分配给三个方向,最后开根号得到的,所以这个速率又称为「方均根速率」。

方均根速率恰巧也可以利用「分子速率的马克士威分布」证明,结果一样。利用气体动力论,我们还可以进一步计算出气体扩散的速率以及热传导快慢等等巨观性质。

参考文献

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